Ce que le système sert, et comment il le sait

Deux origines pour un même objet : des exercices générés par le système, et des exercices découpés d'ouvrages parascolaires achetés. Ils franchissent les mêmes portes et sont servis par le même chemin. Cette page montre les deux côte à côte, avec la preuve de vérification que chacun porte.

Ce que vous voyez d'un exercice découpé, et ce que le système en voit. L'image est le rectangle découpé de la page — c'est exactement ce que l'enfant a sous les yeux. Le texte juste en dessous n'en est pas la légende : c'est la couche texte du PDF, celle que lisent le tuteur, la passe qui écrit la grille et la correction. Les deux se séparent parfois, et c'est tout l'objet d'une des portes de vérification.

Ces ouvrages sont sous droits, et cette page les reproduit temporairement à titre de démonstration, avec leur référence complète. Le corrigé n'y figure jamais. Tout le reste de la carte — compétence, indices, critères d'évaluation — est produit par ce dépôt.

Les exercices générés, eux, sont montrés en entier : ils appartiennent au projet.

Ce que la page ne cache pas : les refus. Sur chaque matière, ce qui a été rejeté est listé sous les exercices retenus, avec le motif. C'est la règle 3 en fonctionnement — un exercice dont les témoins ne concordent pas est jeté en silence, et la compétence reste à couvrir. Le montrer est le seul moyen de rendre la page vérifiable : une vitrine qui n'afficherait que ses réussites ne dirait rien de la porte qui les a laissées passer.

Ce que « réconciliées » garantit, et ce qu'il ne garantit pas. Deux grilles écrites sans se voir sont confrontées avant qu'un exercice soit servi, et le contrôle structurel qui les accepte n'est pas vide : trois à six critères, autant de descripteurs que de niveaux, au moins deux compétences distinctes, aucune redondance. La mesure d'accord numérique, elle, est aujourd'hui quasi tautologique — les deux passes reçoivent la même compétence, si bien qu'elle vaut presque toujours 1. Elle n'est donc pas affichée ici : ce serait donner pour une preuve un chiffre qui n'en est pas une.

Français collège · 5ᵉ

Générés par le système

généréfrancais-5e.conjugaison.radical-et-terminaison

Décomposer une forme verbale en radical et terminaison et dire ce que porte la terminaison

Voici trois formes du verbe « parler », prises dans trois phrases différentes :

nous parlions — vous parlez — elles parlaient

1. Recopie les trois formes en plaçant une barre oblique entre la partie du mot qui ne change jamais et la partie qui change. Exemple, avec le verbe « chanter » : je chant/e.

2. Rédige ensuite un paragraphe d'une dizaine de lignes où tu expliques ce que tu as observé : quelle partie reste identique dans les trois formes, quelle partie varie, et quels renseignements donne cette partie qui varie. Emploie les mots « radical » et « terminaison » dans ton paragraphe.

Tu n'as rien à apprendre par cœur ici : tout ce dont tu as besoin est sous tes yeux, dans les trois formes. Prends le temps de les comparer avant d'écrire.

Les trois indices

1Relis les trois formes l'une après l'autre, à voix basse, en commençant chaque fois par le début du mot. À partir de quel endroit exactement les trois mots cessent-ils de se ressembler ? Pose ton doigt sur cet endroit avant d'écrire quoi que ce soit.
2La méthode s'appelle comparer plusieurs formes du même verbe : la partie qui ne bouge dans aucune des formes est le radical, tout ce qui suit est la terminaison. Une fois la terminaison isolée, on lui pose toujours les trois mêmes questions : qui fait l'action ? une seule personne ou plusieurs ? et à quel moment l'action se passe-t-elle ? Pose ces trois questions à chacune des trois terminaisons.
3Commence par la première forme : nous parl/ions. Le radical est parl-, la terminaison est -ions. Écris maintenant ce que cette terminaison -ions t'apprend, en répondant aux trois questions, puis reprends seule le même travail sur « vous parlez » et sur « elles parlaient ».

Grille d'évaluation, réconciliée depuis deux passes indépendantes

La barre oblique sépare la partie qui ne change pas de celle qui change
1. Aucune des trois formes n'est recopiée avec une barre, ou les barres sont posées au hasard.
2. Une seule des trois formes est correctement coupée après parl-.
3. Deux des trois formes sont correctement coupées après parl-.
4. Les trois formes sont recopiées et coupées après parl- : parl/ions, parl/ez, parl/aient.
Les mots « radical » et « terminaison » sont employés et désignent chacun la bonne partie
1. Le paragraphe n'emploie ni « radical » ni « terminaison », ou les emploie l'un pour l'autre.
2. Les deux mots sont employés, mais le paragraphe ne dit pas clairement quelle partie du verbe chacun désigne.
3. Les deux mots sont employés et le paragraphe dit que parl- est le radical et que -ions, -ez, -aient sont les terminaisons.
Le paragraphe dit quels renseignements donne la terminaison
1. Le paragraphe dit que la fin du mot change, sans dire ce qu'elle indique.
2. Le paragraphe indique un seul renseignement, par exemple la personne.
3. Le paragraphe indique deux renseignements, par exemple la personne et le temps.
4. Le paragraphe indique qui fait l'action, combien de personnes agissent, et à quel moment l'action se passe.
Ce qui est affirmé s'appuie sur les trois formes qui sont sous les yeux
1. Le paragraphe récite une règle apprise sans citer aucune des trois formes.
2. Le paragraphe cite une ou deux des formes pour appuyer ce qu'il affirme.
3. Chaque affirmation est appuyée sur une forme précise, citée dans le paragraphe, de sorte qu'un lecteur peut vérifier lui-même.
La réponse est rédigée en phrases suivies, et non en liste
1. La réponse est faite de mots isolés, de flèches ou de tirets, sans phrases.
2. Quelques phrases sont rédigées, mêlées à des listes ou à des abréviations.
3. Le paragraphe est rédigé du début à la fin en phrases complètes qui s'enchaînent.

généréfrancais-5e.etymologie.orthographe-par-le-radical

Orthographier un mot en s’appuyant sur le radical des mots de sa famille

Un camarade hésite sur la dernière lettre de trois mots, parce qu'on ne l'entend pas quand on les prononce :

le bor… d'une rivière — un cham… de blé — un tapi… dans l'entrée

1. Pour chacun des trois mots, trouve et écris un mot de la même famille dans lequel la lettre muette, elle, s'entend.

2. Rédige ensuite, à l'intention de ce camarade, un paragraphe d'une dizaine de lignes qui lui explique comment tu as fait. Ton paragraphe doit dire ce que tu cherches, pourquoi un mot plus long peut aider à écrire un mot plus court, et il doit reprendre tes trois exemples pour montrer que la méthode fonctionne à chaque fois.

Tu écris pour quelqu'un qui n'a pas trouvé : explique-lui la démarche, pas seulement le résultat.

Les trois indices

1Avant de chercher des lettres, cherche des mots. Pour chacun des trois mots, note au brouillon deux ou trois autres mots qui parlent de la même chose : ce qu'on fait avec, l'endroit où on le trouve, la personne qui s'en occupe. Ne t'occupe de l'orthographe qu'après.
2L'outil s'appelle le mot de la même famille. Deux mots sont de la même famille quand ils partagent le même radical, c'est-à-dire le même morceau de début qui porte le sens. L'idée est la suivante : dans un mot plus long, la lettre qui était à la fin du mot court n'est plus à la fin, et une lettre qui n'est plus à la fin se prononce. Il faut donc allonger le mot pour faire parler sa dernière lettre.
3Prends le premier mot. Un jardinier plante des fleurs tout autour d'une allée : il fait une bordure. Écris ce mot, souligne la lettre qu'on entend maintenant et qui ne s'entendait pas avant. Tu tiens ta première preuve ; cherche seule un mot de famille pour « cham… » et pour « tapi… ».

Grille d'évaluation, réconciliée depuis deux passes indépendantes

Les mots proposés sont de la même famille et font entendre la lettre muette
1. Aucun mot proposé ne fait entendre la lettre cherchée, ou les mots ne sont pas de la même famille.
2. Un seul des trois mots proposés est de la même famille et fait entendre la lettre.
3. Deux des trois mots proposés conviennent.
4. Les trois mots proposés sont de la même famille et font chacun entendre la lettre muette, par exemple bordure, champêtre, tapisserie.
La lettre entendue est reportée à la fin du mot court
1. Les trois mots courts ne sont pas écrits en entier, ou leur dernière lettre ne correspond pas à celle que le mot de famille fait entendre.
2. Un ou deux des mots courts sont écrits avec la bonne lettre finale.
3. Les trois mots courts sont écrits en entier avec la lettre finale que leur famille fait entendre : bord, champ, tapis.
Le paragraphe explique la démarche, et pas seulement le résultat
1. Le paragraphe donne les trois réponses sans dire comment elles ont été trouvées.
2. Le paragraphe dit qu'il faut chercher un mot de la même famille, sans dire pourquoi cela aide.
3. Le paragraphe dit ce qu'il faut chercher et pourquoi un mot plus long aide, mais l'un des deux points reste flou.
4. Le paragraphe dit ce qu'il faut chercher, puis explique qu'une lettre placée à la fin ne s'entend pas alors qu'elle se prononce dès qu'elle n'est plus à la fin : un lecteur peut refaire la démarche sur un autre mot.
Les trois exemples sont repris dans le paragraphe pour montrer que la méthode marche à chaque fois
1. Le paragraphe n'y reprend aucun des trois exemples, ou les cite sans les relier à la méthode.
2. Un ou deux exemples sont repris et reliés à la méthode.
3. Les trois exemples sont repris dans le paragraphe, chacun montrant la lettre qui se met à s'entendre.
Le paragraphe s'adresse au camarade qui n'a pas trouvé
1. Le paragraphe est écrit pour le professeur ou pour personne : rien n'y désigne le camarade.
2. Le paragraphe s'adresse au camarade, en lui parlant et en lui disant ce qu'il a à faire.

généréfrancais-5e.lexique-de-l-oeuvre.mots-de-l-univers

Restituer le sens des mots clés de l’univers de l’œuvre étudiée

Ta classe étudie un roman de chevalerie. Voici quatre mots de cet univers, chacun donné dans la phrase du récit où il apparaît :

• adoubement : « Au matin de la Pentecôte, le jeune homme s'agenouilla devant le roi, qui lui remit une épée : son adoubement faisait de lui un chevalier. »

• écuyer : « L'écuyer courut derrière son maître et lui tendit son écu et sa lance avant le combat. »

• tournoi : « Cent chevaliers s'affrontèrent au tournoi trois jours durant, pour l'honneur, sous les yeux des dames. »

• félon : « Le félon avait juré fidélité à son seigneur, puis l'avait trahi la nuit venue. »

Rédige un paragraphe d'une dizaine de lignes. Explique chacun des quatre mots avec tes propres mots, en une ou deux phrases par mot, sans recopier la phrase du récit. Termine par une phrase qui dit ce que ces quatre mots, mis ensemble, nous apprennent du monde des chevaliers.

Tu n'as pas besoin de dictionnaire : chaque phrase contient de quoi comprendre le mot.

Les trois indices

1Relis chaque phrase en entier, et pas seulement le mot à expliquer. Qui agit ? À qui ? Avant quoi, après quoi ? Ce que la phrase raconte autour du mot fait déjà partie de la réponse.
2Quand un mot est inconnu, on ne le devine pas au hasard : on l'observe dans sa phrase. On regarde le petit mot qui le précède (« un », « le », « son ») pour savoir si c'est un nom, on regarde ce qu'il fait ou ce qu'on lui fait, et on cherche dans la phrase les mots voisins qui parlent de la même chose. Ensuite on commence sa définition en disant d'abord de quelle sorte de chose il s'agit : une personne qui…, une cérémonie où…, un combat pendant lequel…
3Commence par « écuyer ». Dans la phrase, il court derrière son maître et lui tend son écu — et un écu, c'est un bouclier. Demande-toi ce que ce détail t'apprend sur son rôle auprès du chevalier, écris ta définition, puis reprends exactement la même démarche pour les trois autres mots.

Grille d'évaluation, réconciliée depuis deux passes indépendantes

Les quatre mots sont expliqués et l'explication convient au sens du mot
1. Aucun mot n'est expliqué, ou un seul l'est justement.
2. Deux des quatre mots sont expliqués justement.
3. Trois des quatre mots sont expliqués justement.
4. Les quatre mots sont expliqués et chaque explication convient à ce que la phrase du récit montre.
Chaque explication dit d'abord de quelle sorte de chose il s'agit
1. Les explications décrivent des scènes sans jamais dire s'il s'agit d'une personne, d'une cérémonie ou d'un combat.
2. Une ou deux explications annoncent la sorte de chose dont il s'agit.
3. Les quatre explications commencent par annoncer la sorte de chose : une personne qui…, une cérémonie où…, un combat pendant lequel…
Les explications sont écrites avec d'autres mots que ceux du récit
1. Les phrases du récit sont recopiées telles quelles à la place des explications.
2. Une partie des explications recopie des morceaux entiers de la phrase du récit.
3. Les quatre explications sont formulées avec d'autres mots, même quand elles s'appuient sur ce que la phrase raconte.
La phrase finale tire des quatre mots ce qu'ils apprennent ensemble
1. Le paragraphe s'arrête après le dernier mot expliqué : il n'y a pas de phrase finale.
2. La phrase finale se contente de dire que ces mots viennent du Moyen Âge ou du monde des chevaliers.
3. La phrase finale dit quelque chose de ce monde, mais on ne voit pas lequel des quatre mots l'appuie.
4. La phrase finale dit quelque chose de ce monde et s'appuie sur au moins deux des mots expliqués juste avant, si bien qu'un lecteur peut la vérifier en remontant le paragraphe.
L'ensemble forme un paragraphe et non quatre définitions séparées
1. Les quatre mots sont traités en liste, chacun sur sa ligne avec un tiret ou un numéro.
2. Les quatre explications sont enchaînées en un paragraphe suivi qui se termine par la phrase de synthèse.

généréfrancais-5e.registre.grammaire-de-l-ecrit-et-de-l-oral

Comparer la syntaxe d’un même énoncé à l’oral spontané et à l’écrit normé

Voici une phrase telle qu'on la dit à l'oral, entre amis, sans y réfléchir :

« Ce livre-là, ma sœur, elle l'a pas fini, parce que bon, la fin, elle est trop bizarre, quoi. »

1. Récris cette phrase comme tu l'écrirais dans un devoir, en gardant exactement le même sens : ni plus d'informations, ni moins.

2. Rédige ensuite un paragraphe d'une dizaine de lignes dans lequel tu expliques trois changements que tu as faits. Pour chacun, dis ce qu'il y avait dans la phrase orale, ce que tu as écrit à la place, et pourquoi l'écrit demande cette forme.

Attention : la phrase orale n'est pas une phrase fautive. On ne parle pas comme on écrit, et ton paragraphe doit comparer deux façons de dire la même chose, pas corriger une faute.

Les trois indices

1Lis la phrase à voix haute : elle sonne juste. Relis-la maintenant en imaginant que tu la trouves imprimée dans un livre. Qu'est-ce qui, à cet endroit-là, te fait tiquer ? Souligne chaque passage qui te gêne avant d'écrire ta version.
2Pour comparer l'oral et l'écrit, on inspecte toujours les mêmes endroits : les mots qui désignent deux fois la même personne ou la même chose et qu'on annonce avant la phrase ; la négation, qui se dit en deux morceaux à l'écrit et souvent en un seul à l'oral ; les petits mots qui ne servent qu'à faire durer la parole ; et le niveau de langue du vocabulaire. Passe ces quatre endroits en revue, sans supposer d'avance qu'il faut tout changer.
3Commence par la négation. Repère dans la phrase le groupe de mots qui dit que quelque chose n'a pas eu lieu, et recopie ce seul groupe sur ton brouillon en l'écrivant comme un livre l'écrirait. Tu tiens ta première transformation ; reprends ensuite, un par un, les autres endroits que tu avais soulignés.

Grille d'évaluation, réconciliée depuis deux passes indépendantes

La phrase récrite dit exactement la même chose que la phrase orale
1. La phrase récrite change le sens : elle ajoute une information, en supprime une, ou dit autre chose que le refus de finir le livre.
2. Le sens est presque conservé, mais un élément a disparu ou s'est ajouté, par exemple la raison donnée par « parce que ».
3. La phrase récrite dit que la sœur n'a pas fini ce livre et pourquoi, sans rien ajouter ni rien retirer.
Les marques de l'oral sont transformées dans la phrase récrite
1. La phrase récrite reprend la phrase orale presque à l'identique.
2. Une seule marque de l'oral est transformée.
3. Deux ou trois marques sont transformées, mais il reste une reprise du sujet, une négation en un seul morceau ou un mot de remplissage.
4. La négation est écrite en deux morceaux, les reprises de « ce livre-là » et de « ma sœur » sont supprimées, « bon » et « quoi » ont disparu et le vocabulaire familier est remplacé.
Trois changements sont expliqués, chacun avec ce qu'il y avait, ce qui a été écrit et pourquoi
1. Le paragraphe annonce des changements sans citer ce qui a été remplacé ni par quoi.
2. Un seul changement est décrit avec ses trois éléments : l'ancien, le nouveau, la raison.
3. Deux changements sont décrits avec leurs trois éléments ; le troisième est incomplet ou manquant.
4. Les trois changements sont décrits chacun avec l'ancien, le nouveau et la raison : un lecteur peut retrouver dans les deux phrases chaque transformation annoncée.
Le paragraphe compare deux façons de dire la même chose au lieu de corriger une faute
1. Le paragraphe traite la phrase orale de fautive : il parle de fautes, d'erreurs, ou dit qu'elle est mal dite.
2. Le paragraphe évite le mot « faute » mais présente l'écrit comme la bonne version et l'oral comme la mauvaise.
3. Le paragraphe présente les deux phrases comme deux façons correctes de dire la même chose, l'une faite pour être entendue, l'autre pour être lue.

Découpés d'un ouvrage

découpéfrancais-5e.conjugaison.temps-simples-de-l-indicatif

Conjuguer un verbe au présent, à l’imparfait, au futur simple et au passé simple

Énoncé imprimé de l'exercice chouette-dictees/6e-E1/1

1 LE PRÉSENT DE L’INDICATIF. Mettez les verbes à la 3^e personne du pluriel. tu permets ➞ ils tu sais ➞ tu fais ➞ tu distingues ➞

Chouette — Dictées, la compil' 6ᵉ-3ᵉ (Sophie Valle, Hatier) · chapitre 6e-E1 · page 8

Les trois indices

1Les quatre verbes te sont donnés à la 2ᵉ personne du singulier. À quelle personne la consigne te demande-t-elle de les réécrire ?
2Au présent de l'indicatif, la 3ᵉ personne du pluriel se termine presque toujours par -ent, et le pronom placé devant le verbe change lui aussi.
3Commence par le premier : remplace « tu » par le pronom de la 3ᵉ personne du pluriel, puis cherche dans ta leçon la terminaison du verbe permettre à cette personne.

découpéfrancais-5e.accord.chaine-du-groupe-nominal

Accorder en genre et en nombre tous les mots d’un groupe nominal étendu

Énoncé imprimé de l'exercice chouette-dictees/6e-E1/2

2 1 LE PLURIEL DES NOMS ET DES ADJECTIFS. Mettez au pluriel. le sorcier ➞ un malheur ➞ cette potion ➞ à l’esprit ➞ sa formule magique ➞

Chouette — Dictées, la compil' 6ᵉ-3ᵉ (Sophie Valle, Hatier) · chapitre 6e-E1 · page 8

Les trois indices

1Dans chaque groupe, combien de mots vont devoir changer quand tu passes d'un seul à plusieurs ?
2La marque du pluriel ne se pose pas que sur le nom : le déterminant qui l'annonce et l'adjectif qui l'accompagne la portent aussi.
3Prends le premier groupe : occupe-toi d'abord du déterminant, puis accorde le nom de la même façon.

découpéfrancais-5e.lecture-silencieuse.inference-implicite

Déduire une information implicite à partir des indices laissés dans le texte

Énoncé imprimé de l'exercice bescherelle-maxi/6e-1/1

1 Lis ce début de récit, puis réponds aux questions. Il y a bien longtemps vivait en Bretagne un beau chevalier qui rêvait d’aventures et de prouesses. Malheureusement, dans sa contrée, il n’y avait aucune princesse à sauver, nul château à défendre. Las d’atte…

Bescherelle Collège — Mon maxi cahier de français 6ᵉ-3ᵉ (Behlouli & al.) · chapitre 6e-1 · page 7 — extrait

Les trois indices

1Reprends le texte depuis le début : qu'apprend-on, dès les premières lignes, sur l'endroit et sur le temps où l'histoire se passe ?
2Pour ce genre de questions, on ne devine pas : on s'appuie sur les indices semés par le texte, un nom de région, un mot qui date l'action, ce que le héros désire. Repère ces indices avant de choisir.
3Commence par la première question : la Bretagne et l'Angleterre sont nommées dans le texte, demande-toi sur quel continent elles se trouvent. Tu traiteras les deux autres questions de la même façon.

découpéfrancais-5e.outils-analyse.narrateur-et-point-de-vue

Distinguer l’auteur, le narrateur et le personnage et reconnaitre le point de vue adopté

Énoncé imprimé de l'exercice bescherelle-maxi/6e-1/2

2 Lis le début de ce conte tiré des Mille et Une Nuits, puis complète le descriptif. À l’époque du calife Haroun al-Rachid, il y avait, dans la ville de Bagdad, un bon homme qui possédait une très belle épouse. Il l’aimait avec tant de passion, qu’il ne la per…

Bescherelle Collège — Mon maxi cahier de français 6ᵉ-3ᵉ (Behlouli & al.) · chapitre 6e-1 · page 7 — extrait

Les trois indices

1Relis l'extrait sans te presser, puis reprends le descriptif pointillé après pointillé : chaque blanc correspond à une information qui figure quelque part dans le texte.
2Pour compléter ce genre de fiche, on cherche d'abord qui raconte, puis où et quand l'action se déroule, enfin qui agit dans l'histoire. Traite les blancs dans cet ordre plutôt qu'au hasard.
3Commence par la première ligne : observe les pronoms employés pour désigner celui dont on raconte l'histoire, et demande-toi si celui qui raconte apparaît lui-même dans le récit.

Mathématiques collège · 5ᵉ

Générés par le système

générémaths-5e.divisibilite.criteres-usuels

Reconnaitre si un entier est divisible par 2, 3, 5, 9 ou 10

Voici quatre nombres : 4 725, 5 142, 3 726 et 8 361. Un seul d'entre eux est divisible à la fois par 2 et par 9. Écris ce nombre.

Les trois indices

1Deux conditions doivent être remplies en même temps, et non une seule. Laquelle des deux te permet d'écarter des nombres d'un simple coup d'œil, sans rien calculer ?
2Un nombre est divisible par 2 lorsque son chiffre des unités est pair, et par 9 lorsque la somme de tous ses chiffres est un multiple de 9. Sers-toi du premier critère pour éliminer, du second pour trancher entre ceux qui restent.
3Le chiffre des unités de 4 725 et de 8 361 est impair : ces deux-là sont écartés, ils ne sont pas divisibles par 2. Il en reste deux. Calcule la somme des chiffres de chacun de ces deux nombres, puis regarde laquelle est un multiple de 9.

générémaths-5e.fractions.ecritures-equivalentes

Écrire un même nombre sous forme de fraction, de nombre décimal et de pourcentage

Dans un club de natation, 87,5 % des inscrits ont participé à la dernière compétition. Écris cette proportion sous la forme d'une fraction irréductible.

Les trois indices

1Que veulent dire exactement les mots « pour cent » ? Commence par écrire la proportion telle que ces deux mots la disent, avant de chercher à la simplifier.
2Un pourcentage s'écrit d'abord comme une fraction de dénominateur 100. Ici le numérateur porte une virgule : multiplie le numérateur et le dénominateur par 10 pour n'avoir que des nombres entiers, ce qui ne change pas la valeur de la fraction. Il ne reste plus qu'à simplifier tant que c'est possible.
387,5 % s'écrit 87,5/100, c'est-à-dire 875/1000 après avoir multiplié le numérateur et le dénominateur par 10. Cherche maintenant un diviseur commun à 875 et à 1 000 : tous deux se terminent par 5 ou par 0, et 875 est un multiple de 125.

générémaths-5e.litteral.substituer

Calculer la valeur d’une expression littérale par substitution, y compris avec une puissance simple

On donne l'expression E = 3x² − 5x + 4. Calcule la valeur de E lorsque x = −2.

Les trois indices

1L'expression contient trois termes. Demande-toi ce que devient chacun d'eux quand la lettre est remplacée par un nombre négatif, et dans quel ordre les opérations doivent être effectuées.
2Remplace la lettre par sa valeur dans chaque terme, en écrivant le nombre négatif entre parenthèses : c'est ce qui évite de se tromper de signe. Rappelle-toi que le carré d'un nombre négatif est positif, et que soustraire un nombre négatif revient à ajouter son opposé.
3En remplaçant, on obtient E = 3 × (−2)² − 5 × (−2) + 4. Commence par la puissance : (−2)² = (−2) × (−2) = 4, donc le premier terme vaut 3 × 4. Traite ensuite le deuxième terme avec la même méthode.

générémaths-5e.relatifs.soustraire

Soustraire deux nombres décimaux relatifs en ajoutant l’opposé

Calcule A = −12,4 − (−5,9). Donne le résultat sous forme décimale.

Les trois indices

1Les signes « moins » de cette expression ne jouent pas tous le même rôle. Lequel est une opération, et lequel fait partie d'un nombre ?
2Soustraire un nombre, c'est ajouter son opposé. Réécris donc le calcul sous la forme d'une addition avant d'effectuer quoi que ce soit : l'addition de deux nombres relatifs est une opération que tu sais conduire, la soustraction directe est celle qui fait perdre des signes.
3L'opposé de −5,9 est 5,9, donc A = −12,4 + 5,9. Il te reste une addition de deux nombres de signes contraires : compare leurs distances à zéro, celle du plus éloigné donnera le signe du résultat.

Découpés d'un ouvrage

Aucun exercice découpé : le manuel élève Mission Indigo 5ᵉ manque encore. Les mathématiques de 5ᵉ reposent pour l'instant sur la seule génération.

Mathématiques, spécialité lycée · terminale

Générés par le système

générémaths-tle.denombrement.combinaisons-calcul

Calculer un coefficient binomial et utiliser la symétrie et la relation de Pascal

Pour tout entier n ≥ 2, on pose

A(n) = (n + 1)! / (2 × (n − 1)!) − C(n, n − 1),

où C(n, k) désigne le coefficient binomial « k parmi n ».

Exprimer A(n) en fonction de n, sous une forme ne comportant ni factorielle ni coefficient binomial.

Les trois indices

1Les deux termes ne sont pas de même nature : l'un est un quotient de factorielles, l'autre un coefficient binomial. Lequel des deux peux-tu réécrire sans poser le moindre calcul, en utilisant seulement une propriété de son écriture ?
2Un quotient de factorielles se simplifie en développant la plus grande jusqu'à faire apparaître la plus petite en facteur, qui se supprime alors. Pour le second terme, les coefficients binomiaux vérifient la relation de symétrie C(n, k) = C(n, n − k), qui permet d'échanger l'indice du bas contre son complément à n avant tout calcul.
3Écris (n + 1)! = (n + 1) × n × (n − 1)!, puis simplifie le quotient par (n − 1)!. Traite ensuite le coefficient binomial par la symétrie, avant d'effectuer la soustraction et de réduire au même dénominateur.

générémaths-tle.derivation.derivee-composee

Calculer la dérivée d'une fonction composée à l'aide de la formule (v∘u)'=(v'∘u)×u'

Soit f la fonction définie sur l'intervalle ]−9/4 ; +∞[ par f(x) = x × e^(√(4x + 9)).

Calculer f'(4). Donner la valeur exacte.

Les trois indices

1Décris la structure de f avant de dériver quoi que ce soit : quelle opération s'applique en dernier lorsque tu calcules f(x) pour une valeur donnée de x, et combien d'opérations sont emboîtées dans l'exposant ?
2Le facteur exponentiel est une composée, pas un produit : il est de la forme (v∘u)(x) avec v = exp, et sa dérivée s'obtient par (v∘u)' = (v'∘u) × u', où v' = exp également. L'exposant u est lui-même une composée — une racine carrée appliquée à une fonction affine — donc la formule s'utilise deux fois avant que la règle de dérivation d'un produit n'intervienne au niveau le plus extérieur.
3Pose u(x) = √(4x + 9). Alors u'(x) = 4 / (2√(4x + 9)), et en x = 4 on a 4x + 9 = 25, donc u(4) = 5. Écris ensuite f'(x) = e^(u(x)) + x × u'(x) × e^(u(x)) avant de remplacer x par 4.

générémaths-tle.probabilites.succession-epreuves-arbre

Modéliser une succession d'épreuves indépendantes et la représenter par un arbre ou un produit cartésien

Un atelier monte des cartes électroniques à partir de composants achetés à trois fournisseurs. La moitié du stock provient du fournisseur F1, 30 % du fournisseur F2, et le reste du fournisseur F3.

Les contrôles de réception établissent que 2 % des composants livrés par F1 sont défectueux, contre 5 % pour F2 et 10 % pour F3.

Un composant est prélevé au hasard dans le stock ; il se révèle défectueux.

Donner, sous forme de fraction irréductible, la probabilité qu'il provienne du fournisseur F3.

Les trois indices

1L'énoncé donne des proportions de composants défectueux à l'intérieur de chaque fournisseur ; la question, elle, part d'un composant dont on sait déjà qu'il est défectueux. Ces deux conditionnements vont-ils dans le même sens ?
2Construis l'arbre pondéré avec le fournisseur au premier niveau et l'état du composant au second : l'énoncé fournit alors directement les probabilités des trois premières branches et celles des branches conditionnelles. La probabilité qu'un composant prélevé soit défectueux s'obtient par la formule des probabilités totales, c'est-à-dire en sommant les probabilités des chemins qui y mènent. La probabilité demandée est ensuite un quotient : celle d'un seul de ces chemins, rapportée à cette somme.
3La part de F3 n'est pas écrite dans l'énoncé : c'est 1 − 0,5 − 0,3 = 0,2. Note D l'événement « le composant est défectueux » et calcule les trois produits P(F1) × P_F1(D), P(F2) × P_F2(D), P(F3) × P_F3(D), puis leur somme.

générémaths-tle.suites.definition-limite-infinie

Interpréter la définition d'une suite tendant vers +∞ ou −∞ sur des exemples

Soit (u_n) la suite définie sur N par u_n = n² + 2n, et soit A un réel strictement positif.

La fonction x ↦ x² + 2x étant strictement croissante sur [0 ; +∞[, il existe un unique réel r ≥ 0 tel que r² + 2r = A ; on a alors, pour tout entier naturel n : u_n > A si et seulement si n > r. Ce réel r est le seuil au-delà duquel tous les termes de la suite dépassent A.

Exprimer r en fonction de A.

Les trois indices

1L'égalité r² + 2r = A est une équation en r, où A joue le rôle d'un nombre connu. Qu'est-ce qui empêche d'isoler r directement, comme on le ferait dans une équation du premier degré ?
2Une expression du second degré dont le coefficient dominant vaut 1 se met sous forme canonique : on complète le carré, c'est-à-dire qu'on reconnaît le début du développement de (r + a)². L'équation devient alors une égalité entre deux quantités dont l'une est un carré, et se résout en passant à la racine carrée — ce qui n'est licite qu'après avoir vérifié le signe de chaque membre.
3Écris r² + 2r = (r + 1)² − 1. L'équation prend la forme (r + 1)² = A + 1. Comme r ≥ 0, la quantité r + 1 est strictement positive, et A + 1 l'est aussi : tu peux donc identifier r + 1, puis en déduire r.

Découpés d'un ouvrage

découpémaths-tle.denombrement.k-uplets

Compter les k-uplets d'un ensemble à n éléments, avec ou sans répétition d'éléments

Énoncé imprimé de l'exercice prepas-sciences/1/6

Exercice 1.6 : Code secret Nos ordinateurs nous demandent sans cesse des mots de passe. 1. Combien peut-on former de codes comportant 3 lettres distinctes parmi les 26 lettres majuscules de l’alphabet suivies de 2 chiﬀres distincts ? 2. Un octet est constitué …

Spécialité Mathématiques — Terminale, nouveaux programmes (Nguyen & al.) · chapitre 1 · page 18 — extrait

Les trois indices

1Les lettres et les chiffres se choisissent-ils sous la même contrainte ? Et le code complet est-il autre chose qu'un couple formé d'un bloc de lettres et d'un bloc de chiffres ?
2Sans répétition, on compte des arrangements : le nombre de choix diminue d'une unité à chaque position. Deux blocs indépendants se combinent ensuite par le principe multiplicatif.
3Compte d'abord les blocs de trois lettres distinctes, puis les blocs de deux chiffres distincts, avant de les associer. Pour la seconde question, demande-toi combien de bits restent réellement libres dans l'octet.

découpémaths-tle.scalaire.calculer-produit

Calculer un produit scalaire de deux vecteurs de l'espace par ses différentes expressions

Énoncé imprimé de l'exercice prepas-sciences/3/1

Exercice 3.1 : ABCDEF GH est un parallélépipède rectangle tel que AE = AD = a et AB = 3a. H G E Calculer les produits scalaires suivants : F D C −−→ −→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −→ A 1. AB · AF 2. DB · CG 3. EG · HF 4. AB · AG B

Spécialité Mathématiques — Terminale, nouveaux programmes (Nguyen & al.) · chapitre 3 · page 80

Les trois indices

1Parmi ces quatre couples de vecteurs, lesquels sont portés par des arêtes orthogonales du pavé ?
2Décompose chaque vecteur sur les arêtes issues d'un même sommet, puis développe le produit scalaire par bilinéarité : tout terme croisé faisant intervenir deux arêtes orthogonales disparaît.
3Pour le premier produit, écris AF comme somme de AB et BF, puis développe.

découpémaths-tle.probabilites.calcul-probabilite-arbre-totales

Calculer une probabilité en utilisant l'indépendance, les probabilités conditionnelles et la formule des probabilités totales

$Énoncé imprimé de l'exercice math-max-spe/II/20$

Exercice 20 Impasse Le programme d’un examen oral est constitué de 20 sujets. On propose à chacun des candidats de tirer deux sujets au hasard parmi les vingt et de traiter alors celui de son choix. Combien de sujets au minimum un candidat doit-il connaître po…

Math Max — Terminale, enseignement de spécialité (Krief-Détraz) · chapitre II · page 52 — extrait

Les trois indices

1Quelle est la probabilité que le candidat ne sache traiter aucun des deux sujets tirés ?
2Un arbre à deux niveaux décrit ce tirage sans remise ; l'événement « savoir traiter au moins un des deux sujets » se traite plus simplement par son contraire, et la condition demandée devient une inéquation du second degré.
3Note n le nombre de sujets connus, écris la probabilité de tirer deux sujets inconnus comme un produit de deux fractions de dénominateurs 20 et 19, puis résous l'inéquation obtenue.

découpémaths-tle.scalaire.projete-distance

Utiliser la projection orthogonale pour calculer la distance d'un point à une droite ou à un plan

$Énoncé imprimé de l'exercice math-max-spe/VIII/13$

Exercice 13 On donne M ( 5 , 2 , 3 ), N ( 1 , 2 , −1 ) et P ( −3 , 2 , 3 ) dans un repère orthonormé de l’espace. Déterminer la distance du point N à la droite (M P ).

Math Max — Terminale, enseignement de spécialité (Krief-Détraz) · chapitre VIII · page 197

Les trois indices

1Que valent les carrés des trois longueurs du triangle formé par ces points, et leur comparaison te dit-elle quelque chose ?
2La distance d'un point à une droite est la longueur du segment qui joint ce point à son projeté orthogonal ; l'aire du triangle, calculée de deux façons différentes, relie cette longueur aux côtés déjà connus.
3Calcule les carrés des trois distances entre les points et compare-les avant de choisir ta méthode.

Maths expertes lycée · terminale

Générés par le système

générémaths-expertes-tle.arithmetique.divisibilite-diviseurs

Déterminer l'ensemble des diviseurs d'un entier relatif

Déterminer l'ensemble des entiers naturels d tels que 5 < d < 30 et que d divise à la fois 504 et 1080.

Les trois indices

1Tester un par un les vingt-trois entiers de 6 à 29 finirait par aboutir, mais c'est long et facile à rater. Qu'ont en commun tous les entiers qui divisent à la fois 504 et 1080 ?
2Le théorème à mobiliser : les diviseurs communs de deux entiers sont exactement les diviseurs de leur PGCD. Le problème se ramène donc au calcul d'un seul nombre, par décomposition en facteurs premiers ou par l'algorithme d'Euclide.
3Décompose d'abord : 504 = 2³ × 3² × 7 et 1080 = 2³ × 3³ × 5. Le PGCD s'obtient en gardant chaque facteur premier commun affecté du plus petit de ses deux exposants ; il te restera à lister les diviseurs de ce PGCD, puis à ne conserver que ceux qui vérifient l'encadrement.

générémaths-expertes-tle.complexes.inverse-quotient

Écrire l'inverse ou le quotient de deux nombres complexes sous forme algébrique en multipliant par le conjugué

Soit z le nombre complexe défini par z = (16 + 11i) / (3 - 2i). Écrire z sous forme algébrique, c'est-à-dire sous la forme a + ib avec a et b réels.

Les trois indices

1Sous la forme où z est écrit pour l'instant, peux-tu lire directement sa partie réelle et sa partie imaginaire ? Qu'est-ce qui t'en empêche ?
2Pour rendre le dénominateur réel, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur : le produit d'un nombre complexe par son conjugué est un réel positif, égal au carré de son module.
3Le conjugué de 3 - 2i est 3 + 2i, et (3 - 2i)(3 + 2i) = 3² + 2² = 13. Développe maintenant le numérateur (16 + 11i)(3 + 2i) en utilisant i² = -1, puis divise chaque terme par 13.

générémaths-expertes-tle.complexes.module-calcul

Calculer le module d'un nombre complexe donné sous forme algébrique

Soit z un nombre complexe non nul de module 3. On note z̄ le conjugué de z. Calculer le module du nombre complexe z + 4/z̄. Ce module est le même pour tous les nombres complexes de module 3 : en donner la valeur exacte.

Les trois indices

1Le résultat ne dépend pas du z choisi, alors qu'il y en a une infinité. Que cela suggère-t-il sur la forme sous laquelle il faudrait parvenir à écrire z + 4/z̄ ?
2L'outil est la relation qui relie un nombre complexe, son conjugué et son module : le produit d'un complexe par son conjugué vaut le carré de son module. Elle permet de remplacer 1/z̄ par une expression proportionnelle à z. On utilise ensuite que le module du produit d'un réel par z est la valeur absolue de ce réel multipliée par le module de z.
3Ici z × z̄ = 9, donc 1/z̄ = z/9. Remplace cette expression dans z + 4/z̄, puis factorise par z : il ne restera plus qu'un seul module à calculer.

générémaths-expertes-tle.matrices.operations

Calculer une somme, un produit par un réel et un produit de deux matrices

Soit A la matrice carrée d'ordre 2 dont la première ligne est (2 ; -1) et la seconde ligne (3 ; 1). On pose M = A³ + 2A² - 4A. Donner les quatre coefficients de M, lus ligne par ligne, dans l'ordre suivant : ligne 1 colonne 1, ligne 1 colonne 2, ligne 2 colonne 1, ligne 2 colonne 2.

Les trois indices

1Avant tout calcul, regarde ce que l'expression demande réellement : combien de produits de matrices distincts faut-il poser, et dans quel ordre les obtenir pour n'en calculer aucun deux fois ?
2Une puissance de matrice se calcule par produits successifs : on obtient d'abord A², puis A³ en multipliant A² par A. La multiplication par un réel et l'addition de deux matrices de même format, elles, se font coefficient par coefficient.
3Commence par A² : son coefficient de la ligne 1 colonne 1 vaut 2 × 2 + (-1) × 3 = 1, produit de la première ligne de A par la première colonne de A. Calcule les trois autres coefficients de la même façon, puis multiplie A² par A.

Découpés d'un ouvrage

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Calculer un reste modulo n en utilisant la compatibilité des congruences avec la somme et le produit

$Énoncé imprimé de l'exercice math-max-expertes/II/18$

Exercice 18 Quel est le chiffre des unités de la somme 1!+ 2!+ . . . + 2019!+ 2020! ?

Math Max — Terminale, option mathématiques expertes (Krief-Détraz) · chapitre II · page 27

Les trois indices

1Le chiffre des unités d'une somme ne dépend que du chiffre des unités de chaque terme. Lesquels, dans cette somme, apportent encore quelque chose ?
2Raisonner modulo 10 suffit : il reste à déterminer à partir de quel rang une factorielle est congrue à 0 modulo 10.
3Cherche le plus petit entier n tel que n! contienne à la fois un facteur 2 et un facteur 5, puis ne conserve dans la somme que les termes qui le précèdent.

découpémaths-expertes-tle.complexes.module-calcul

Calculer le module d'un nombre complexe donné sous forme algébrique

$Énoncé imprimé de l'exercice math-max-expertes/V/5$

Exercice 5 Calculer le module de chacun des nombres complexes suivants. √ √ (a) −3 + 4i (c) (3 − 4i)( 6 − i 2) √ √ √ √ (b) 6 − i 2 (d) ( 6 + i 2)^2

Math Max — Terminale, option mathématiques expertes (Krief-Détraz) · chapitre V · page 115

Les trois indices

1Deux de ces nombres sont donnés sous forme algébrique, les deux autres comme un produit et comme un carré. Faut-il vraiment développer ces derniers ?
2Pour une forme algébrique, on applique la formule directe à partir des deux parties ; pour un produit ou une puissance, on se sert des propriétés qui font passer le module à travers l'opération.
3Traite (a) et (b) par la formule directe, puis réutilise les deux valeurs obtenues pour (c) et (d) sans recommencer le calcul.

découpémaths-expertes-tle.complexes.forme-exponentielle

Passer de la forme algébrique d'un nombre complexe à sa forme exponentielle et inversement

$Énoncé imprimé de l'exercice math-max-expertes/V/13$

Exercice 13 Étudier la limite de la suite (z_n )_N définie par z_n =^{ln(n+3)}_{n+3} e^{ni12π} .

Math Max — Terminale, option mathématiques expertes (Krief-Détraz) · chapitre V · page 117

Les trois indices

1La suite n'est pas réelle. Que suffit-il pourtant d'étudier sur elle pour conclure ?
2Le module et l'argument se lisent directement sur l'écriture exponentielle ; la convergence se ramène alors à l'étude d'une suite réelle positive, que tranche une croissance comparée.
3Écris le module de z_n en fonction de n, puis compare la croissance du logarithme à celle du terme qui le divise.

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Calculer le PGCD de deux entiers par l'algorithme d'Euclide

$Énoncé imprimé de l'exercice math-max-expertes/VI/1$

Exercice 1 Déterminer l’ensemble des entiers naturels n tels que n ⩽ 72 et PGCD ( 72 , n ) = 6.

Math Max — Terminale, option mathématiques expertes (Krief-Détraz) · chapitre VI · page 143

Les trois indices

1Si le PGCD vaut 6, que peut-on écrire de n immédiatement ? Et quelles contraintes pèsent alors sur le quotient obtenu ?
2On pose n = 6k, puis on décompose 72 en facteurs premiers pour voir quels facteurs k ne doit surtout pas contenir ; la majoration de n borne enfin les valeurs possibles de k.
3Écris n = 6k, décompose 72 en produit de facteurs premiers, et regarde ce qui se passerait si k était pair.

Physique-chimie lycée · terminale

Générés par le système

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Identifier les couples acide-base mis en jeu et établir l'équation d'une réaction acide-base

L'acide lactique, responsable de l'acidité des laits fermentés, a pour formule semi-développée :

CH₃ — CH(OH) — COOH

On titre un volume V_A = 20,0 mL d'une solution aqueuse d'acide lactique, de concentration en soluté apporté c_A = 5,0×10⁻² mol·L⁻¹, par une solution aqueuse d'hydroxyde de sodium (Na⁺(aq) + HO⁻(aq)) de concentration c_B = 2,0×10⁻² mol·L⁻¹. Le titrage est total.

Localiser le site acide de la molécule, identifier les deux couples acide-base mis en jeu, écrire les demi-équations puis l'équation de la réaction de titrage, et en déduire le volume de solution d'hydroxyde de sodium versé à l'équivalence.

La valeur à donner en réponse est ce volume à l'équivalence, en mL, avec deux chiffres significatifs.

Les trois indices

1La molécule porte deux groupes caractéristiques contenant chacun un atome d'hydrogène lié à un atome d'oxygène. Ces deux hydrogènes se comportent-ils de la même façon vis-à-vis d'une base en solution aqueuse ?
2Un acide de Brønsted est une espèce capable de céder un proton H⁺ ; sa base conjuguée est l'espèce obtenue après ce départ, et le couple s'écrit AH / A⁻. La stabilité de la base conjuguée par délocalisation de la charge est le critère qui distingue un hydrogène réellement acide en solution aqueuse d'un hydrogène qui ne l'est pas. Une fois l'équation établie, l'équivalence d'un titrage se traduit par le fait que les réactifs ont été introduits dans les proportions stœchiométriques de cette équation, ce qui relie les quantités de matière n = c × V.
3Détermine d'abord la quantité de matière d'acide lactique titrée : n_A = c_A × V_A, avec V_A converti en litres. Écris ensuite la demi-équation du couple acide lactique / ion lactate, puis celle du couple H₂O / HO⁻, et combine-les pour obtenir l'équation de la réaction : c'est le rapport des coefficients stœchiométriques de cette équation qui te donnera la quantité d'ions hydroxyde à verser.

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Déterminer les coordonnées cartésiennes des vecteurs vitesse et accélération par dérivation du vecteur position

Dans un repère orthonormé (O ; i, j), un mobile M est repéré à chaque instant t, exprimé en secondes, par le vecteur position OM de coordonnées cartésiennes :

x(t) = t³ − 3 t² + 5 t

y(t) = 4 t² − 2 t

où x et y sont exprimées en mètres.

Déterminer la valeur de la norme du vecteur accélération du mobile à l'instant t₁ = 2,0 s. Donner le résultat en m·s⁻², avec deux chiffres significatifs.

Les trois indices

1Le vecteur position est donné, et c'est le vecteur accélération qui est demandé. Combien d'opérations séparent l'un de l'autre, et lesquelles ?
2Les coordonnées du vecteur vitesse sont les dérivées par rapport au temps des coordonnées du vecteur position ; les coordonnées du vecteur accélération sont à leur tour les dérivées de celles de la vitesse. Il faut donc mener la dérivation deux fois de suite, sur chacune des deux coordonnées. La norme d'un vecteur de coordonnées (a_x ; a_y) s'obtient ensuite par le théorème de Pythagore.
3Commence par la coordonnée selon x : la dérivée de x(t) = t³ − 3 t² + 5 t est v_x(t) = 3 t² − 6 t + 5, dont la dérivée est a_x(t) = 6 t − 6. Mène le même travail sur y(t), puis évalue les deux coordonnées de l'accélération à l'instant t₁ avant de calculer la norme.

généréphysique-chimie-tle.nucleaire.isotopes-diagramme-nz

Déterminer les isotopes radioactifs d'un élément à partir d'un diagramme (N,Z)

Dans le diagramme (N, Z), la vallée de stabilité passe, au voisinage du numéro atomique Z = 53, par les noyaux dont le nombre de neutrons N vaut environ 1,35 fois le numéro atomique.

Le noyau d'iode 131, utilisé en médecine nucléaire, a pour nombre de masse A = 131 et pour numéro atomique Z = 53.

Situer ce noyau par rapport à la vallée de stabilité, en déduire son mode de désintégration le plus probable, puis écrire l'équation de cette désintégration.

La valeur à donner en réponse est le nombre de neutrons du noyau fils obtenu.

Les trois indices

1L'énoncé ne donne pas directement la position du noyau : il donne A et Z. De quelles deux coordonnées a-t-on besoin pour placer un noyau dans le diagramme (N, Z), et laquelle reste à calculer ?
2Le nombre de masse compte l'ensemble des nucléons, protons et neutrons confondus. Une fois le noyau placé, c'est l'écart entre son nombre de neutrons et celui qu'aurait un noyau stable de même numéro atomique qui désigne le type de radioactivité : excès de neutrons, défaut de neutrons, ou noyau trop lourd. Enfin, toute désintégration conserve le nombre de charge et le nombre de masse : ce sont ces deux lois, et elles seules, qui donnent le noyau fils.
3Calcule d'abord le nombre de neutrons de l'iode 131 par N = A − Z. Compare ensuite cette valeur au nombre de neutrons que l'énoncé attribue à un noyau stable de même numéro atomique, soit 1,35 × 53. La comparaison des deux nombres te dira dans quel sens le noyau s'écarte de la vallée.

généréphysique-chimie-tle.ondes.niveau-intensite-sonore

Exploiter l'expression du niveau d'intensité sonore et sa réciproque avec le logarithme décimal

L'intensité sonore de référence, correspondant au seuil d'audibilité, vaut I₀ = 1,0×10⁻¹² W·m⁻². Le niveau d'intensité sonore L, exprimé en décibels, est relié à l'intensité sonore I par la relation L = 10 × log(I / I₀), où log désigne le logarithme décimal.

Sur un chantier, le niveau d'intensité sonore mesuré à l'emplacement d'un ouvrier vaut 110 dB. Cet ouvrier porte un casque antibruit qui abaisse de 30 dB le niveau d'intensité sonore qu'il perçoit.

Déterminer l'intensité sonore perçue par l'ouvrier sous son casque. Donner le résultat en W·m⁻², avec deux chiffres significatifs.

Les trois indices

1La relation fournie donne le niveau à partir de l'intensité. Ici, c'est l'intensité qui est cherchée : dans quel sens faut-il donc parcourir cette relation, et sur quel niveau doit-elle s'appliquer, celui du chantier ou celui perçu sous le casque ?
2L'atténuation annoncée porte sur le niveau, exprimé en décibels : elle se retranche donc simplement du niveau mesuré, avant tout calcul d'intensité. Pour remonter ensuite du niveau à l'intensité, il faut la fonction réciproque du logarithme décimal, c'est-à-dire la puissance de dix : si log(u) = a, alors u = 10^a. Isole le rapport I / I₀ avant d'isoler I.
3Commence par le niveau perçu sous le casque : L' = 110 − 30, exprimé en dB. Écris ensuite L' = 10 × log(I / I₀), d'où log(I / I₀) = L' / 10, puis I / I₀ = 10^(L' / 10). Il ne te reste plus qu'à multiplier par I₀.

Découpés d'un ouvrage

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